数学

丘成桐：将具体问题抽象一下，变作一个包罗万有的问题，可以解决一些比较特殊的事情。 我们创办了上海数学与交叉学科研究院，一开始主要是基础科学研究。现在我们要向不同的方向发展，发挥基础数学的核心能力，来引领数学跟产业的合作。 如果问，科学最重要的语言是什么？答案就是数学。几乎所有的科学领域都在使用数学，而且成熟度越高的领域数学用得越多，这已经是常识。 但深层的问题是，为什么数学会具有这样的地位？这就不显而易见了。量子力学创始人之一维格纳写过一篇文章《数学在自然科学中不可思议的有效性》，提出了这个问题。 当代数学大师丘成桐先生，对此有独特的感悟。他最近出版了一本科普书《数学的万有引力》，透彻地介绍了对引力的数学与物理研究历史。原来我早就听说过他证明了卡拉比猜想和正质量猜想，开创了几何分析学科，但不清楚这些猜想和学科说的是什么，为什么重要。看了这本书，终于明白了它们对广义相对论和弦理论等物理领域都有重大影响，数学与物理结合正是丘成桐先生的一大主题。 最近，第36届国际弦理论大会在上海召开，丘成桐先生担任大会主席。借这个机会，我们来跟丘先生见面。 《锚点》节目中国科学技术大学科技传播系副主任袁岚峰对话清华大学求真书院院长、上海数学与交叉学科研究院理事长丘成桐院士，东方卫视2026年7月22日播出。 本片为30秒的预告片，25分钟的全片可见于上海广播电视台“看看新闻”网站（ https://www.http://kankanews.com/detail/Nk2l4PWkr2bhttps://www.http://kankanews.com/detail/Nk2l4PWkr2b）、app、视频号以及哔哩哔哩（ https://www.http://bilibili.com/video/BV1cYgy6REYLhttps://www.http://bilibili.com/video/BV1cYgy6REYL）。

第一部分：LaTeX 数学公式输入完全指南。 这是全文的基础，因为不管是向 DeepSeek 提问，还是以后用 Obsidian 整理笔记，你都需要用 LaTeX 把数学公式打出来，而不是发一段「根号下x平方加y平方」这样的自然语言，AI 虽然也能看懂后者，但用 LaTeX 描述公式，AI 的理解不会有歧义，解答的准确率会明显更高，你自己也能知道题目输错了没有。这部分只讲公式输入，不讲 LaTeX 排版（也就是不讲 \documentclass、\section、页面设置这些东西，因为你用不到）。内容按「上下标 → 分数与根式 → 希腊字母 → 求和/连乘/极限 → 各类积分 → 导数与向量微积分 → 矩阵与行列式 → 分段函数与方程组对齐 → 向量 → 集合与逻辑符号 → 不等号与关系符号 → 三角/反三角/双曲/对数函数 → 取整/绝对值/范数/组合数 → 箭头与映射 → 常见踩坑点」的顺序展开，每一个命令都配有例子，每个例子先给出 LaTeX 原始代码，再给出渲染后的效果，方便对照。 第二部分：三个 AI/OCR 工具的使用方法。 首先详细说明 DeepSeek 是什么；然后说明如果你有条件（能访问这些网站，同时愿意付订阅费），Claude 和 ChatGPT 的数学能力其实比 DeepSeek 更强，用法也是选择对应的「深度思考/推理」模式，思路和使用 DeepSeek 是一致的；最后介绍 Mathpix 这个工具它能把课本、试卷的截图，或者你将手写平板上的公式，直接识别成 LaTeX 代码，免去手敲公式的麻烦，文中会说明它每个月的免费额度和超额之后的收费标准。 第三部分：四个层次的实战例题，一共 20 道题目。 这是全文篇幅最大的部分，分成四组，模拟的都是「学生自己看书看不懂，于是去问 AI」这个真实场景： ・高中数学（4 道题，覆盖集合论中「空集为什么是任何集合的子集」、等比数列求和公式的记忆方法、三角函数积化和差/和差化积公式的记忆方法、二项式定理里 该取何值这几个学生常问的困惑）； ・大学工科数学，取材于《工程数学·线性代数》（同济大学数学系编，第六版），共 6 道题，覆盖行列式定义（逆序数）背后的动机、矩阵乘法为什么这样定义、初等变换为什么不改变矩阵的秩、齐次线性方程组的基础解系、从线性映射角度理解矩阵转置、二次型为什么归在线性代数里这几个最容易卡壳的知识点； ・数学专业的数学分析，取材于华东师范大学数学系编的《数学分析》（第四版）下册，共 6 道题，覆盖一致收敛性、幂级数收敛半径的求法与端点讨论、多元函数可微性（偏导数存在是否推出可微、可微是否推出偏导数连续这两个方向各一道题）、隐函数定理、格林公式定向这几个经典的难点； ・英文数学原版书，取材于 Walter Rudin 的 Principles of Mathematical Analysis，共 4 道题，其中两道直接用英文提问，另外两道用中文提问但在关键数学术语（如 compactness、uniform continuity）后面标注英文（示范英语写作有困难时的折中方案）。

目前来看，纯数学领域覆盖面最广的只有一本书：《普林斯顿数学指南》。 本书主编Timothy Gowers，英国数学家，剑桥大学教授。在1998年，因为在泛函分析和组合数学领域的研究成果获得了菲尔兹奖。 这本书并非一人所作，而是由100多位当代数学家共同写作完成，每一个章节的作者都是该领域的顶级研究者，其内容几乎覆盖所有主流数学领域，本书在2008年由普林斯顿发布第一版，2011年获得“欧拉图书奖”。 本书既不是教科书，也不是数学历史书，是一本纯数学参考指南，适合用来查找自己数学的知识盲区，非数学专业但对数学感兴趣的人也能读懂。 本书第一部分的数学概念是按字母排序的，因此不适合像教科书那样逐章阅读，只适合用来当成数学工具书使用。 第二部分讲现代数学的研究分支并有较深入的讨论，如代数几何和组合群论等。

01概述 what数学是什么 1.数学是一门研究数量、结构、变化和空间的学科。 2.它是一种精确的、逻辑性强的学科，用于解决各种问题、建立模型和进行推理。 3.数学利用抽象化和逻辑推理，从计数、计算、量度、对物体形状及运动的观察发展而成。数学贯穿于科学、工程、经济学、计算机科学、自然科学和社会科学等各个领域。 why学数学 数学解决实际问题，训练了逻辑思维，学习人工智能的基础 how学数学 除了理解概念和做练习之外，也可以通过编程学习数学。Python是一种易于学习和使用的编程语言，初学者可以借助Python来学习和应用数学知识。 1.掌握一个知识有多种方法，可以选择自己能接受的方式去学习。 2.学习数学可以用图解，公式，代码，生活中的类比等方法 3.从Python编程的角度看数学，Python表达数学公式，Python绘制公式的图像。掌握一个知识有多种方法，若数学公式让你感到畏惧，可以通过其python代码来学习。无法理解数学式和理论时，可以尝试阅读代码并运行。公式，代码，画图。数学知识--》数学公式--》python实现。python懂了--》数学公式明白了--》数学知识掌握了--》不在畏惧数学了减少对数学公式的恐惧。将数学公式转化为Python代码 学习内容：用Python实现，涵盖小学、初中、高中和大学阶段的关键关键数学知识点。从编程的角度去理解数学，采用将数学与代码相结合的方式学习。 数和数数据 我们学习的所有知识和方法都是互相关联的，它们构成一个庞大、复杂的网络，没有任何一个内容是孤立存在的。上学前，我认识的数字只有0、1、2、3等整数。上了小学，我认识的数字增加到小数。到了初中，数字多了负数一说。到了高中，数字又有了虚数一说。数字的范畴越来越大，相关的运算法则也在不断变化。 数和数据的理解 数的分类： Python数学库 数学库的作用： 1.计算工具：Python提供了数学计算库，如NumPy和SciPy，可以用来进行数值计算、线性代数、微积分等。 2.数据可视化：Python的Matplotlib库和Seaborn库可以可视化数据，帮助初学者更好地理解数学概念。 3.解题和模拟：Python可以用来解决数学问题、建立模型和进行模拟。这对于学习数学应用非常有帮助。 Python自带的库 1.math：包含了许多用于执行基本数学运算的函数和常数【04章节】 2.cmath：用于处理复数数学。它提供了与复数相关的函数和常数【04章节】 3.random：用于生成伪随机数，它在统计和概率计算中经常使用【04章节】 4.statistics：提供了一些统计学函数，用于计算均值、中位数、标准差等统计指标 5.fractions：用于处理有理数（分数）【02章节】 6.decimal：提供了高精度的十进制运算，适用于需要更精确的数值计算场景。【02章节】

序 在某个炎热的夏日，你翻开一本陌生的书，硬着头皮学完了微积分。后来，你又偶然听说了复数，于是渐渐对从数数开始就习以为常的纯实数感到乏味。 这时，一个问题自然浮现：如果把复数放进微积分，会发生什么呢？ 然后，你会由浅入深地细数历代数学家的各种巧思，最后也会对那原本让人望而生畏的数学兴致满满。 前言 这是一篇有关微积分学的文章，从微分到积分，从实变积分到复变积分，阐述分析学的有趣之处。 尤其是复数域中的函数，解析性使得复变函数具备了许多优雅的性质，这些是实变函数所没有的。 在知友的建议与协助下，严肃而艰深的知识也开始变得轻松而有趣。 虚数 虚数，最初源于求解一元三次方程 卡尔达诺在他的《大术》一书中给出了求根公式 但人们发现一个了奇怪的现象，即使方程有三个实根，该公式的中间步骤却会出现对负数开平方的操作 中间出现了 ，但计算后虚部相消，得到实根 。 拉斐尔·邦贝利在《代数》中断言: 『即使中间步骤出现负数开平方，结果仍可以是实数』 这让人们左右为难：不接受这种不可能的数，就得不到正确的实根。为了给这种运算一个形式上的记号，人们引入 虚数单位的符号 取自 Imaginary（虚构的）的首字母，意为虚构的数。 很长一段时间，虚数被当成一个纯粹虚构的概念。但后来人们渐渐发现，虚数并没有想象中那么虚无缥缈 欧拉公式把指数函数与三角函数联系在了一起。事实上，从交流电路到量子力学 从傅里叶变换到复变函数 虚数无处不在。 积分 设函数 在闭区间 上有界，我们期望计算区间内曲线下面积 一个简单的办法，是将这部分面积（黄色区域）近似分割成多个矩形 矩形的面积是容易计算的，底乘以高 当分割得越来越精细时，每个矩形的宽 就越趋近于 分割数量 一旦达到极限 ，我们就可以认为，此时所有矩形的面积就精确等于曲线下的面积了 将曲线下的面积用拉长的 表示，并标明曲线的边界 和 事实上，分割方式并不限定于刚才的等差分割，只要区间间隔 的最大值趋于零即可 其中 ，而 是处于 到 之间的点。 这就是定积分的定义。它就是无数个小矩形的面积之和 微分与导数 观察光滑函数 上的两点 和 ，显然两点的连线 （黄色）与 点处的切线 (红色) 存在差异 当点 无限接近点 时，此时我们可以认为， 点处切线的斜率 就精确等于两点连线的斜率 这就是导函数的定义，它是函数 在点 处切线的斜率。定义函数的微分（微小改变量）为 将斜率 记作 ，并将当 时的 记为 ，则该导函数又可表示为

两条直线相交，对顶角相等。 三角形相似，对应边成比例。 这些都是关系。 16—17世纪：代数和几何结合，关系变成公式 笛卡尔发明解析几何，把几何图形用代数方程表示。 比如圆： x^2 + y^2 = r^2 这个方程不是在说一个数字，而是在说 x 和 y 之间的一种关系。 这时，函数思想开始萌芽：一个量变化，另一个量跟着变。 数学家开始意识到：研究变量之间的关系，比研究单个数值更重要。 18—19世纪：函数成为核心 欧拉、傅里叶、柯西等人把函数概念发展起来。 函数就是数集之间的对应关系。 这时数学明确地从算数转向分析变化关系。 19世纪末—20世纪初：集合论和抽象代数，把关系变成研究对象 这是最关键的一步。 康托尔创立集合论，把一堆对象作为研究对象。 同时，数学家开始研究抽象的运算结构，比如群、环、域。 这些结构的核心不是数字，而是元素之间的运算关系。 比如群论，研究的是一个集合里，元素怎么通过一个运算相互联系，满足什么规则。 在数学语言里。 数字是单词。 关系是语法。 只学单词，不会造句，语言就没用。 只研究数，不懂关系，就表达不了复杂规律。 既然数学是研究关系的，那我们为什么要叫数学？叫关系学不好吗？ 数学这个词的源头是希腊语 mathema，意思是：学到的知识，学问。所以数学本来就是关于知识、关于学问的意思。 后来中文翻译成数学，是因为它早期最明显的研究对象是数。但它的范围早就超过了数。 关系学这个名字太容易让人误会。 在中文里，一说关系学，大家第一反应往往是搞人际关系，走后门，拉关系。数学可不想背这个锅。 再说，数学研究的不只是关系。 还研究： 结构，比如群、环、域； 空间，比如几何、拓扑； 变化，比如微积分； 数量，比如数论； 模式，比如分形、混沌。 关系只是其中一个很重要的视角，但不能完全概括数学。 以后学高数，就问自己一句话： 它描述的是什么样的关系？ 比如： 极限：自变量趋近某个值时，函数值怎么变？这是趋近关系。 导数：函数变化快慢和自变量变化之间的关系。 积分：无数微小变化累积成总量，这是累积关系。 微分方程：未知函数和它的变化率之间的关系。 数学主要有以下八大块。 1分析（微积分、实分析、复变、泛函、微分方程） 2代数（线性代数、抽象代数、伽罗瓦理论） 3几何与拓扑（解析几何、微分几何、拓扑、代数几何） 4概率与统计（概率论、数理统计、随机过程） 5数论（整数、素数、丢番图方程） 6离散数学（组合、图论、编码、优化） 7逻辑与基础（数理逻辑、集合论、范畴论）

开学季来临！ 新学期，数学这关，总得认真过一回。 这份书单书不多，但每一本都值得放在手边。 想先"喜欢上"数学，从故事开始——《数学女孩》用青春小说讲透数学之美，《数学的雨伞下》《数学觉醒》帮你把沉睡的兴趣重新唤醒。 要啃微积分，两条路任选：想快速入门、自学友好，选《普林斯顿微积分读本（修订版）》；要系统扎实、一步到位，上《斯图尔特微积分（上下）》。 线性代数，认准 Gilbert Strang 的《斯特朗线性代数》，MIT 课堂同款，讲的是直觉，不是死记公式。 还有《概率论沉思录》——它不止教概率，更教你用贝叶斯的眼光重新看世界。 …… 书不多，够用，也够琢磨一整个学期。 《数学女孩》（1-6） 作者：结城浩 译者：朱一飞等 北大数学系推荐阅读图书！ 日本数学会强力推荐，内容由浅入深，绝赞的数学科普书，在动人的故事中走近数学，在青春的浪漫中理解数学。 《数学女孩》系列以小说的形式展开，从基础数学到费马大定理、哥德尔不完备定理、随机算法、伽罗瓦理论、庞加莱猜想，重点描述一群年轻人探寻数学之美的过程。 作者：[法] 米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay） 译者：欧瑜 湖南大学推荐阅读图书！ 惊讶！是思考的起点； 数学，是理解世界本质与万物关联的工具！ 以数学为起点，以思考为快乐！ 法国数学学会“达朗贝尔奖”得主科普名作。 数学，是理解世界本质与万物关联的工具，它能制造两个指南针：一个叫“实用”，一个叫“优雅”。不懂得数学的意义，就无法真正学习和理解数学。 科学家为什么那么聪明？因为他们有非凡的思考方法。 以数学为工具，以思考为快乐；培养自己的思考力、观察力，成为真正的思考者。 《数学觉醒：学会更清晰地思考》 作者：[法]戴维·贝西（David Bessis） 译者：赵晓蕊 菲尔兹奖得主陶哲轩、雨果·杜米尼强推！《欢乐数学》作者本·奥林、《微积分的力量》作者史蒂夫·斯托加茨、《数学的逻辑》作者郑乐隽、数学巨匠伊恩·斯图尔特等诚挚推荐！ 打动全球顶级数学家的奇书！全书没有一个公式却讲透数学思维这一高级“软实力”！让数学帮我们培养清晰思考的能力，塑造认知和思维！掌握真正有用的学习能力。 《可变思考：数学与创造性思维》 作者：[日]广中平祐 译者：佟凡 日本数学大家、菲尔兹奖得主广中平祐著作！稻盛和夫力荐，呈现数学家观察事物的独特视角与思考方式。 1.稻盛和夫力荐，日本累计销售10万册！ 2.菲尔兹奖得主理解“复杂”与“变化”的巧妙视角，用数学的智慧探索创造力的本质

在文艺复兴之前，整个数学其实就只有两个领域：算术（Arithmetic，关于数的运算）和几何（Geometry，关于形状的研究）。 那时候，人们甚至还没把数学和数字占卜、占星术这些伪科学彻底分开。 文艺复兴的到来，打破了这种简单的划分。两个全新的领域逐渐发展起来：代数（Algebra）和微积分（Calculus）。 数学符号的发明，推动了代数的诞生。广义上讲，代数就是对公式的研究与操作。 微积分则分成了微分学（Differential Calculus）和积分学（Integral Calculus），研究连续变化的函数，用来描述那些非线性的变量关系。 这种将数学划分为四大领域的方式，一直持续到19世纪末。 像天体力学、固体力学这些学科，最早是数学家在研究，现在大多被归入了物理学。组合数学虽然很早就有人研究，但直到17世纪才成为独立的数学分支。 19世纪末，一场动摇整个数学根基的危机爆发了。随之而来的公理化方法的系统化，催生了大量全新的数学分支。 如今，《2020年数学学科分类标准》里已经列出了不少于63个一级学科。 其中一些延续了传统的划分，比如数论和几何；一些领域虽然名字里不含几何一词，但本质上还是几何的延伸；曾经的代数 and 微积分，也被拆分成了更多更细的领域；还有一些，是20世纪才诞生的全新方向，比如数理逻辑和数学基础。在这幅庞大的学科版图上，各个核心分支及子领域展现出各自逻辑演进路径。这些演变实际上是围绕结构、空间和逻辑这几个核心概念展开的。以下是目前最主要的八个研究方向。 unsetunset数论：最古老的纯粹数学unsetunset 这张图展示的是乌拉姆螺旋（Ulam Spiral），用于可视化质数的分布。图中沿对角线的深色点，暗示了一个猜想：质数在某些二次多项式取值中近似呈独立分布，这一猜想现被称为哈代-李特尔伍德猜想 F（Hardy–Littlewood Conjecture F）。 我们先从最古老的纯粹数学分支说起：数论（Number Theory）。 它起初只是对自然数的研究，后来慢慢扩展到了整数和有理数。它曾经就叫算术，不过现在，算术大多用来指基础的数值计算了。 数论的历史可以追溯到古巴比伦，甚至更早的中国。古希腊的欧几里得、丢番图是早期的代表人物。到了近代，费马、欧拉奠定了现代抽象数论的基础，勒让德和高斯则让这个领域彻底成熟。 很多数论问题，表述起来简单到小学生都能看懂，解法却需要跨越多个数学分支的复杂工具。

这个问题简单，但是，没有学过天文学，你是不知道答案的。 先说说数学的本质吧：简化。 从《几何原本》开始吧：这是欧洲数学的基础。全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明，包括了平面几何、立体几何和初等数论等内容。欧几里得的《几何原本》被广泛的认为是历史上最成功的教科书。 （其实《几何原本》中的大部分内容，是我们初中时数学课的内容。） 不过，《几何原本》你要反着看，才能体会数学的真谛。表面看《几何原本》是数学的学习过程，是一个从简单到复杂的学习过程；反过来看，才是数学的真谛：简化，将复杂的问题简单化。 简化，将复杂的问题简单化。其实是，所有学科的学习方法和解题方法。 详解参考：《时间的天文学》【 ※1. 天文学、数学、SinX - 】用一个函数SinX，简述数学2500年发展史。也是，没谁了。（你都找不到第二个函数，能干这件事。如果有，请告诉我，我是找不到第二个？） 再说说，最关键的问题，数学是天文学的副产品， 或者说，为什么天文学的发展一直引领着数学的发展。 《几何原本》已经很厉害了，但是，还是解释不了下面这个问题。 就这么说吧： ・如果，你是高一，这道计算题可以告诉你，高中三年数学，学什么。 ・如果，你是高三，这道计算题，可以总结一下，高中三年数学，学了什么。 ・比这道题简单的，属于必修；比这道题，难的，属于提高。 ・而且，这道计算题，你每一天都能看见， ・但是，知道这道数学题存在的人，已经不多了（包括你的数学老师） ・如果，你高中毕业了，这道计算题，还不会做，说明你的数学还没有学全。 简单说吧：这道天文学计算题，验证了我们数学体系的完整性。 或者说，为了解答这道计算题，人类完善了整个数学体系。 无论千百年前，还是千百年后，这道计算题始终存在，不变。 这么说吧，为了求解这道计算题，《几何原本》后，又经历了千年。 是不是说大话了！？ 这样的数学题，存在么？ ・已知，太阳（星星）东升西落的移动轨迹和天赤道平行。 ・求解：太阳（星星）高度角，变化的时间规律。 如果，我们只观测1颗星星的东升西落，他的移动轨迹和天赤道是平行的，这是地球自转的结果。 所有的星星、星座东升西落的移动轨迹都是和天赤道平行的，沿着赤纬移动，这是地球自转的结果。而且所有的星星、星座移动的角速度（相对于OP' 轴）都是恒定的： ・恒星：ω1= 360° ÷ 23小时56分4秒 ≈ 15.0411°/小时。 ・太阳：ω2= 360° ÷ 24小时 = 15°/小时。

数学形式语言的独立性还体现在它具有自然语言不具备的逻辑精确性。自然语言中“或者”既可以是相容的也可以是互斥的，听者根据语境自动区分。在数学中“或”的逻辑含义被精确定义为真值函数的一个算子，不存在歧义。自然语言中“如果”通常携带因果含义。数学中“如果A则B”仅仅表示在A为真时B不能为假，与A和B之间是否存在因果关系完全无关。这种严格的语义定义使得数学推理可以做到精确无误，而这种精确性是自然语言在设计原理上不具备的。自然语言要同时服务于信息传递、社交协调、情感表达和认知建构，精确的逻辑编码只是其中一项任务的局部需求。数学形式语言是为精确的逻辑编码专门设计的，它的功能目标单一，因此可以在这个单一维度上达到自然语言无法企及的精确度。 这一判断的学术谱系可以追溯到Gottlob Frege。Frege在1879年出版的《概念文字》中首次提出了一种完整的形式语言系统，其核心动机正是他对自然语言在表达逻辑关系时的模糊性感到不满。Frege设计了一套用二维空间排列来展示逻辑关系的图形符号系统，使得从前提到结论的每一步推理都有明确的符号标记。Frege用“概念文字”这个名称本身就表明了他的判断：这套符号系统是一种语言，一种专门为精确表达概念关系和逻辑推理而设计的语言。他的工作标志着现代逻辑的开端，也标志着数学作为形式语言这一观念的诞生。Frege的思想经过Bertrand Russell、Alfred North Whitehead等人在《数学原理》中的系统发展，再经过David Hilbert的形式主义纲领的哲学辩护，最终确立了数学作为一种独立于自然语言的形式语言系统的学术地位。 Hilbert的形式主义立场是理解数学作为形式语言的关键。 Hilbert主张，数学可以被还原为对无意义的符号按照明确规则进行机械操作的过程。 符号的意义不由符号自身携带，而完全由公理和推理规则在系统内部的功能角色决定。 “点”、“线”、“面”在几何公理系统中可以是任何满足公理要求的对象，它们不必须承载任何物理空间中的几何直观。 这种立场将数学的语言性推到了极致：数学不只是一套描述数学对象的语言，它本身就是数学对象的全部存在方式。 一个数学对象就是它在形式系统中的符号操作规则所定义的东西，不存在超越符号系统的“真实”数学对象等待语言去描述。 Hilbert的形式主义清晰地将数学与自然语言区分开来：自然语言的意义来自使用、语境、文化和身体经验，数学形式语言的意义完全由系统内部的公理和推理规则决定。